ENVOLVENTES A 2-PARÂMETROS DE n-ESFERAS EM Rn+1

ENVOLVENTES A 2-PARÂMETROS DE n-ESFERAS EM Rⁿ⁺¹

FONSECA, R.C.B. - CEFET-GO

CORRO, A.M.V. - UFG

Unidade Acadêmica: Universidade Federal de Goiás - UFG

corro@mat.ufg.br

Palavras-Chaves: Envolvente; Hipersuperfície; Imersão isométrica; Curvatura

I. Introdução:

Neste trabalho estudamos as Hipersuperfícies Mⁿ em |Rⁿ⁺¹ que tem a propriedade de ter (n-p) curvaturas principais iguais de multiplicidade constante, que são chamadas de envolventes a p-parâmetros de n-esferas denotada por p-PES. O objetivo deste trabalho é caracterizar uma classe especial destas hipersuperfícies que satisfazem uma Relação de Weingarten linear A+BnH+CK=0, onde H é a curvatura média e K é a curvatura de Gauss-Kronecker e A,B,C são constantes reais.

O artigo [1] caracteriza as envolventes a 2-parâmetros especiais de n-esferas nos três espaços ambientes: o espaço Euclidiano, a Esfera e o espaço Hiperbólico, denotados por Q_cⁿ⁺¹_, onde c = 0,1 ou -1, respectivamente. Depois de estudar as envolventes nos três espaços ambientes, enfrentamos com a dificuldade da dissertação ficar muito extensa, e a reduzimos apenas para o caso Euclidiano. Destacamos que, nos outros dois espaços ambientes (Sⁿ⁺¹ e Hⁿ⁺¹), foram obtidos alguns resultados análogos ao espaço Euclidiano.

No primeiro momento, o estudo está direcionado a uma revisão dos principais resultados da Geometria Riemanniana, abrangendo os seguintes itens: Variedades Diferenciáveis; Imersões Isométricas; Folheações e Nulidade de uma Imersão Isométrica e Derivada de Imersão Isométrica.

Em seguida, definimos as hipersuperfícies x: Mⁿ→ |Rⁿ⁺¹, p-PES, com (n-p) curvaturas principais iguais a l de multiplicidade constante, D_l a distribuição do autoespaço de l e o conjunto focal de x que é definido pela aplicação g = x + N, onde N é a aplicação normal de Gauss de x e g define uma subvariedade p-dimensional. Também, caracterizamos as hipersuperfícies p-PES através do conjunto focal.

Depois, definimos uma hipersuperfície p-PES especial, denotada por p-SPES, como sendo uma p-PES com a condição adicional a qual D^{^}_l seja integrável. Encontramos condições necessárias e suficientes sobre o conjunto focal para uma hipersuperfície ser p-SPES.

O nosso objetivo é estudar as hipersuperfícies 2-SPES que ficam determinadas pelo conjunto focal “g” 2-dimensional, assim, definimos três tipos de hipersuperfícies: as de tipo I são aquelas quando “g” tem curvatura Gaussiana não nula; as de tipo II, quando “g” é uma superfície regrada sem pontos umbílicos e com curvatura Gaussiana nula e as de tipo III que são aquelas quando “g” é parte de um plano.

Finalmente, apresentamos uma Relação de Weingarten linear, a matriz da segunda forma fundamental que expressam as curvaturas média e de Gauss-Kronecker e fazemos um estudo separadamente de cada tipo de envolvente definida anteriormente.

II. Resultados:

Em geral, obtivemos resultados de não existência de envolventes, do que resultados em que se apresentam exemplos, que são resultados interessantes que destacamos:

Com relação as hipersuperfícies de tipo I, destacamos que uma 2-SPES satisfaz uma Relação de Weingarten linear se e somente se o conjunto focal é mínimo. E mais, a não existência de uma 2-SPES com curvatura média H= constante ou curvatura Gauss-Kronecker K=constante e, em particular, a não existência de mínimas, nestas condições.

Com relação as hipersuperfícies de tipo II, destacamos as condições necessárias e suficientes para termos uma 2-SPES com curvatura Gauss-Kronecker nula. E mais, a não existência de uma 2-SPES em |Rⁿ⁺¹, satisfazendo uma Relação de Weingarten linear A+BnH+CK=0 , com B¹0 ; em particular, a não existência de tais envolventes com curvatura média H = constante.

E com relação as hipersuperfícies de tipo III, estudamos uma 2-SPES com a curvatura média constante, caracterizada por uma equação diferencial parcial da função r positiva C^µ(L), que depende de uma variável. Para estas hipersuperfícies obtemos uma caracterização geométrica, que, garante em particular, que uma 2-SPES é mínima em |Rⁿ⁺¹ se e somente se é um cilindro sobre um catenóide em |Rⁿ.

III. Conclusões:

Este trabalho foi desenvolvido na área da Geometria Riemanniana que é uma extensão da Geometria Diferencial. Assim, um embasamento Riemanniano com informações para o tema proposto no artigo [1], foi elaborado logo no primeiro momento.

Como o nosso interesse era caracterizar as hipersuperfícies 2-PES em |Rⁿ⁺¹, as quais satisfazem uma Relação de Weingarten linear A+BnH+CK=0 , onde A, B e C são constantes reais, não simultaneamente nulas, vimos a necessidade de incluir hipóteses adicionais na envolvente Y e no conjunto focal “g” , passando a estudar a Y 2-SPES em |Rⁿ⁺¹ através de três tipos, dados por:

Tipo I: Uma Y 2-SPES é um tubo (fibrado normal de esferas com raio r constante em |R ⁿ⁺¹ sobre uma superfície mínima g:L² ® |Rⁿ⁺¹) com m = 0 e K^g¹0 em qualquer ponto;

Tipo II: Uma Y 2-SPES onde g(L²) é uma superfície regrada com m = 1 e K^g= 0 em |Rⁿ⁺¹ sem pontos umbílicos;

Tipo III: Uma Y 2-SPES onde g(L²) parte de um plano em |Rⁿ⁺¹ com m =2.

Obtivemos resultados de existência e também de não existência de envolventes que satisfazem uma Relação de Weingarten linear em |Rⁿ⁺¹. E apresentamos um exemplo de como construir uma Y 2-SPES em |R⁴ do tipo I que satisfaz uma Relação de Weingarten linear.

E finalizamos com a apresentação da expressão da matriz da segunda forma fundamental de uma p-PES, para “p” qualquer, o que permite expressar as curvaturas intermediárias para p ³ 2. O estudo das hipersuperfícies que satisfazem uma Relação de Weingarten linear envolvendo todas as curvaturas, ainda se encontra em aberto. No entanto, acreditamos que com um pouco mais de tempo e paciência, poderá surgir algum resultado.

IV. Referências Bibliográficas:

[1] ASPERTI, A. C. e CHAVES, R. M. B.C. On two parameter envelopes of n-spheres in a real space form, Departamento de Matemática da Universidade de São Paulo, São Paulo. Publicado em 1999, pela Kluwer Academic Plublishers. Printed in the Netherlands. Geometria e Dedict. 75: 301 - 316.

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[5] CARMO, M.P. e DAJCZER, M. Rotation hypersurfaces in spaces of constant curvature, Trans. Amer. Math. Soc.(2), 277(1983), 189 - 203.

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V. Fonte de Financiamento: CAPES